1. buktikan bahwa cos 3A - cos 5A / sin 3A + sin 5A = tan A 2. buktikan bahwa sin 4A + 2 sin A / cos 4A + 2 cos A = tan 3A
Pertanyaan
2. buktikan bahwa sin 4A + 2 sin A / cos 4A + 2 cos A = tan 3A
1 Jawaban
-
1. Jawaban diahviolin
Kelas: XI
Mata pelajaran: Matematika
Materi: Persamaan Trigonometri
Kata kunci: Penjumlahan Sinus, Penjumlahan Cosinus dan Pengurangan Cosinus
Pembahasan:1. Buktikan bahwa “cos 3A - cos 5A / sin 3A + sin 5A = tan A”
Dari sifat trigonometri, pada penjumlahan sinus dan pengurangan cosinus, diketahui bahwa:
sin A + sin B = 2 sin [(A + B)/2] cos [(A - B)/2]
dan:
cos A – cos B = -2 sin [(A + B)/2] sin [(A - B)/2]
Sehingga bila kita hendak membuktikan bahwa : “cos 3A - cos 5A / sin 3A + sin 5A = tan A”, kita bisa membagi persamaan di atas menjadi dua bagian yaitu:
Bagian I:
cos(3A) - cos(5A) = - 2 sin [(3A + 5A)/2] sin [(3A - 5A)/2]
= - 2 sin [(8A)/2] sin [(-2A)/2]
= -2 sin(4A) sin(-A)
= 2 sin(4A) sin(A)
Bagian II:
sin (5A) + sin(3A) = 2 sin [(5A + 3A)/2] cos [(5A - 3A)/2]
= 2 sin [(8A)/2] cos [(2A)/2]
= 2 sin (4A) cos (A)
Lalu kedua bagian kita gabung menjadi:
cos 3A - cos 5A / sin 3A + sin 5A = [2 sin (4A) sin (A)] / [2 sin (4A) cos (A)]
= sin A / cos A
cos 3A - cos 5A / sin 3A + sin 5A = tan A
2. Buktikan bahwa “sin 4A + sin 2A / cos 4A + cos 2A = tan 3A”
Dari sifat trigonometri, pada penjumlahan sinus dan penjumlahan cosinus, diketahui bahwa:
sin A + sin B = 2 sin [(A + B)/2] cos [(A - B)/2]
dan:
cos A + cos B = 2 cos [(A + B)/2] cos [(A - B)/2]
Sehingga bila kita hendak membuktikan bahwa : “sin 4A + sin 2A / cos 4A + cos 2A = tan 3A”, kita bisa membagi persamaan di atas menjadi dua bagian yaitu:
Bagian I:
sin 4A + sin 2A = 2 sin [(4A + 2A)/2] cos [(4A – 2A)/2]
= 2 sin [6A/2] cos [2A/2]
= 2 sin 3A cos A
Bagian II:
cos 4A + cos 2A = 2 cos [(4A + 2A)/2] cos [(4A - 2A)/2]
= 2 cos [6A/2] cos [2A/2]
= 2 cos 3A cos A
Lalu kedua bagian kita gabung menjadi:
sin 4A + sin 2A / cos 4A + cos 2A = [2 sin 3A cos A] / [2 cos 3A cos A]
= sin 3A/cos 3A
sin 4A + sin 2A / cos 4A + cos 2A = tan 3A