buktikan 1+3+9+...+3^n-1=1/2(3^n-1) berlaku untuk semua bilangan asli

[tex] 1 + 3 + 9 + .... + 3^{n-1} = \frac{3^n-1}{2} [/tex]

Coba untuk n = 1

[tex] 1 = \frac{3^1-1}{2} \\ 1 = \frac{2}{2} \\ 1 = 1 [/tex]
Benar


Anggap benar untuk n = k dengan k bilangan asli

[tex] 1 + 3 + 9 + .... + 3^{k-1} = \frac{3^k-1}{2} [/tex]


Coba untuk n = k+1

[tex] 1 + 3 + 9 + .... + 3^{k-1} + 3^{k+1-1} = \frac{3^{k+1}-1}{2} \\ \frac{3^k-1}{2} + 3^{k} = \frac{3.3^k - 1}{2} \\ 3^k - 1 + 2.3^k = 3.3^k - 1 \\ 3^k + 2.3^k - 1 = 3.3k - 1 \\ 3.3^k - 1 \\ 3.3^k -1 [/tex]
Benar

1+3+3^2+ ….. +3^(n-1) =( ½ ). ((3^n )-1)

a. n=1

3^1-1 = 1/2 . 3^1 -1

3^0 = 1/2 . 3 - 1   (a^0 = 1)

1 = 1/2 / . 2

1 = 1     (Benar)

b. n = k

1+3+3^2+ ….. +3^(n-1) = ½ . ((3^n) -1)

1+3+3^2+ ….. +3^(k-1) = ½ . ((3^k) -1)  (Asumsi Benar)

c. n = k+1    di point ini membuat agar ruas kiri = ruas  kanan

1+3+3^2+ ….. +3^(n-2)+3^(n-1) = ½ . ((3^n) -1)  *(3^(n-2) didapat karna sblm 3^(n-1) pasti ada 3^(n-2) dan sebelumnya jg ada 3^(n-3) dan setersnya tapi cukup sampai n-2 saja yang digunakan)

1+3+3^2+ ….. +3^(k+1-2)+3^(k+1-1) = ½ . ((3^k+1) -1)

1+3+3^2+ ….. +3^(k-1)+3^(k)= ½ . ((3^k . 3^1) -1)

-------------------------------  (Dari point B sebaris ini bernilai ½ . ((3^k )-1))

½ . ((3^k) -1)                   +3^k =  ½ . ((3^k . 3^1) -1)

 ((3^k) -1)/2  + (2/2). 3^k = ½ .((3^k . 3^1) -1)   (kalikan 3^k dngn 2/2 agar sama)

(((3^k) -1) + (2.(3^k))) / 2= ½ .((3^k . 3^1) -1) (stlh sama pntbtnya bisa dijumlhkn)

½ ((3^k) -1 +3^k+3^k) =  ½ .((3^k . 3^1) -1)  (dari 2 .3^k = 3^k+3^k karna 2x =x+x)

½ ((3 . 3^k) -1) = ½ .((3^k . 3^1) -1) ( 3^k+3^k+3^k = 3 . 3^k , karna x+x+x=3x)

½ ((3^k . 3^1) -1) = ½ .((3^k . 3^1) -1)  (tulis saja 3^1=3, sebenarnya dari sini benar)

½ ((3^k . 3) -1) = ½ .((3^k . 3) -1)      (Terbukti Benar)